《章末整合》一元二次函数、方程和不等式PPT

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第一部分内容：深化提升

专题一　用基本不等式求最值

例1已知函数y=x+m/(x"-" 1)(m>0).

(1)若m=1,求当x>1时函数的最小值;

(2)当x<1时,函数有最大值-3,求实数m的值.

分析:(1)由函数的形式可以看出,求最小值可用基本不等式求解;(2)当x<1时,x-1<0,仍可用基本不等式求最值,利用等号成立的条件求参数m的值.

解:(1)当m=1时,y=x+1/(x"-" 1)=x-1+1/(x"-" 1)+1.

∵x>1,∴x-1>0.

∴y=x-1+1/(x"-" 1)+1≥2√("(" x"-" 1")•"  1/(x"-" 1))+1=3,

当且仅当x-1=1/(x"-" 1),即x=2时取等号,

所以当x>1时函数的最小值为3.

(2)∵x<1,∴x-1<0,∴y=x-1+m/(x"-" 1)+1=- 1-x+m/(1"-" x) +1≤-2√("(" 1"-" x")•"  m/(1"-" x))+1=-2√m+1,

当且仅当1-x=m/(1"-" x),即x=1-√m时取等号,即函数的最大值为-2√m+1,

所以-2√m+1=-3,解得m=4.

方法技巧 应用基本不等式求最值的技巧

1.应用基本不等式求最值,必须按照“一正、二定、三相等”的条件进行,若具备这些条件,可直接运用基本不等式,若不具备这些条件,则应进行适当的变形.

2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和欲求的式子,运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件,具体可以归纳为:一不正,用其相反数,改变不等号方向;二不定,应凑出定和或定积;三不等,一般需用其他方法,如尝试利用函数的单调性.(将在下章中学习)

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