《函数y=Asin(ωx+φ)》三角函数PPT

《函数y=Asin(ωx+φ)》三角函数PPT

第一部分内容：课标阐释

1.理解匀速圆周运动数学模型的特点,并能用数学模型解决一些相关的实际问题.

2.会用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象.

3.理解参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响.

4.掌握函数y=Asin(ωx+φ)与y=sin x图象之间的关系,能够将y=sin x的图象通过变换得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象.

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函数y=Asin(ωx+φ)PPT，第二部分内容：自主预习

一、匀速圆周运动数学模型

1.填空

(1)三角函数数学模型在模拟一些周期现象时应用十分广泛,但一般都能概括为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式.

(2)三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期规律、预测未来方面发挥着重要作用.

2.做一做

如图,点P是半径为r的砂轮边缘上的一个质点,它从初始位置P0开始,按逆时针方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动,则点P的纵坐标y关于时间t的函数关系式为__________

解析:当质点P从P0转到点P位置时,点P转过的角度为ωt,

则∠POx=ωt+φ,由任意角的三角函数定义知点P的纵坐标y=rsin(ωt+φ).

答案:y=rsin(ωt+φ)

3.判断正误

(1)三角函数是描述现实世界中周期变化现象的重要函数模型. (　　)

(2)与周期有关的实际问题都必须用三角函数模型解决. (　　)

答案:(1)√　(2)×

二、图象变换

1.φ对函数y=sin(x+φ),x∈R的图象的影响

(1)在同一平面直角坐标系中,用“五点法”作出函数y=sin(x+π/3)与y=sin(x"-"  π/4)的图象,从表中所列变量的值以及画出的图象两个方面进行观察分析,y=sin(x+φ)的图象与y=sin x的图象之间有什么关系?

提示:y=sin(x+φ)的图象可以由函数y=sin x的图象经过左右平移|φ|个单位得到.

(2)填空

如图,函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图象,可以看作是把y=sin x的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度得到的.

(3)做一做

将函数y=sin x的图象向右平移π/5个单位,可以得到函数(　　)的图象.

A.y=sin(x+π/5)B.y=sin(x"-"  π/5)

C.y=sin(π/5 "-" x)D.y=sin(5x"-"  π/5)

解析:将函数y=sin x的图象向右平移π/5个单位,可以得到函数y=sin(x"-"  π/5)的图象.

2.ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)的图象的影响

(1)在同一平面直角坐标系中,用“五点法”作出函数y=sin 2x与y=sin   x的图象,从列表中变量的值以及画出的图象两个方面进行观察分析,y=sin(ωx+φ)的图象与y=sin(x+φ)的图象之间有什么关系?

提示:y=sin(ωx+φ)的图象可以由函数y=sin(x+φ)的图象经过左右伸缩变换得到.

(2)填空

如图,函数y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的   倍(纵坐标不变)而得到.

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函数y=Asin(ωx+φ)PPT，第三部分内容：探究学习

匀速圆周运动的数学模型

例1一个大风车的半径为6 m,12 min旋转一周,它的最低点P0离地面2 m,风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面距离h(m)与时间m(min)之间的函数关系式是(　　)

A.h(t)=-6sinπ/6t+6B.h(t)=-6cosπ/6t+6

C.h(t)=-6sinπ/6t+8D.h(t)=-6cosπ/6t+8

分析:由题意可设h(t)=Acos ωt+B,根据周期性   =12,由最大值与最小值分别为14,2,即可得出.

解析:设h(t)=Acos ωt+B,

∵12 min旋转一周,∴2π/ω=12,∴ω=π/6.

由于最大值与最小值分别为14,2,

∴{■("-" A+B=14"," @A+B=2"," )┤解得{■(A="-" 6"," @B=8"." )┤∴h(t)=-6cosπ/6t+8.

答案:D

反思感悟  匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式.此类问题的切入点是初始位置及其半径、频率的值要明确,半径决定了振幅A,频率或周期能确定ω,初始位置不同对φ有影响.还要注意最大值与最小值与函数中参数的关系.

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函数y=Asin(ωx+φ)PPT，第四部分内容：思维辨析

三角函数图象平移变换规则不清致误 

典例 为了得到y=sin 1/2x的图象,只需要将y=sin(1/2 x"-"  π/6)的图象(　　)

A.向左平移π/6个单位B.向右平移π/6个单位

C.向左平移π/3个单位D.向右平移π/3个单位

错解由y=sin1/2x的图象得y=sin(1/2 x"-"  π/6)的图象时,∵φ=-π/6,∴向左平移π/6个单位.故选A.

错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?

提示:错解中有3个错误点:①审题不清,没有弄清楚哪一个函数图象移动变换得另一个函数图象.②平移方向上应该是“左加右减”,在错解中,由y=sin1/2x得y=sin(1/2 x"-"  π/6)的图象时应该向右平移.③平移的单位长度由于忽视了x的系数导致错误.

正解:∵y=sin(1/2 x"-"  π/6)=sin1/2 (x"-"  π/3),

∴当由y=sin(1/2 x"-"  π/6)的图象得y=sin1/2x的图象时,应该是向左平移π/3个单位.

答案:C

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函数y=Asin(ωx+φ)PPT，第五部分内容：随堂演练

1.将函数y=sin x+π/6 的图象上所有的点向左平移π/4个单位长度,再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),则所得图象的解析式为(　　)

A.y=sin 2x+5π/12 B.y=sin x/2+5π/12 

C.y=sin x/2-π/12 D.y=sin x/2+5π/24 

解析:平移后得解析式为y=sin x+π/4+π/6 =sin x+5π/12 ,再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍得解析式为y=sin x/2+5π/12 ,故选B.

答案:B 

2.将函数y=sin 2x的图象向右平移π/2个单位长度,所得图象对应的函数是(　　)

A.奇函数B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数  D.非奇非偶函数

解析:y=sin 2x的图象向右平移π/2个单位长度得到函数y=sin[2(x"-"  π/2)]=sin(2x-π)=-sin(π-2x)=-sin 2x的图象.因为-sin(-2x)=sin 2x,所以是奇函数.

答案:A

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